Задание 1 ЕГЭ профиль по математике — простейшая планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружности, углы

Теория:Для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности применим теорему синусов: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.Формула:\(2R = \frac{AB}{\sin C}\).Шаг 1.Вычислим синус тупого угла по формуле приведения: \(\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).Шаг 2.Подставим длину стороны и синус угла: \(2R = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6\).Шаг 3.Найдем радиус описанной окружности: \(R = \frac{6}{2} = 3\).

Теория:Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника всегда равна 180°.Шаг 1.Проверим, могут ли углы 99° и 117° быть противоположными. Их сумма составляет: \(99^{\circ} + 117^{\circ} = 216^{\circ} \ne 180^{\circ}\). Значит, данные углы прилежат к одной стороне четырёхугольника.Шаг 2.Тогда противоположные им углы будут равны соответственно: \(180^{\circ} - 99^{\circ} = 81^{\circ}\) и \(180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}\).Шаг 3.Сравнивая полученные результаты, выбираем наибольший угол: это 81°.

Теория:Если в выпуклый четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны.Формула:\(AB + CD = BC + AD\).Шаг 1.Найдем сумму известных противоположных сторон: \(AB + CD = 10 + 17 = 27\).Шаг 2.Так как суммы противоположных сторон равны, сумма двух других сторон \(BC + AD\) также равна 27.Шаг 3.Периметр — это сумма длин всех четырёх сторон: \(P = (AB + CD) + (BC + AD) = 27 + 27 = 54\).

Теория:Поскольку трапеция описана около окружности, сумма её оснований равна сумме боковых сторон.Формула:\(a + b = c + d\), где \(a, b\) — основания, \(c, d\) — боковые стороны.Шаг 1.Найдем сумму оснований через боковые стороны: \(a + b = 12 + 14 = 26\).Шаг 2.Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(m = \frac{a + b}{2}\).Шаг 3.Следовательно: \(m = \frac{26}{2} = 13\).

Теория:По определению синуса в прямоугольном треугольнике получаем:Формула:\(\sin A = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin A\).Шаг 1.Вычислим противолежащий катет \(BC\): \(BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{2\sqrt{19}}{5}\).Шаг 2.Найдём прилежащий катет \(AC\) по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{16 - \frac{76}{25}} = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{18}{5} = 3{,}6\).

Теория:Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.Формула:\(\angle CAO = 90^{\circ}\).Шаг 1.Центральный угол \(\angle AOC\) опирается на дугу \(AB\), поэтому его градусная мера равна градусной мере этой дуги: \(\angle AOC = 17^{\circ}\).Шаг 2.Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC.Шаг 3.Найдём искомый угол \(\angle ACO\): \(\angle ACO = 180^{\circ} - \angle CAO - \angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 17^{\circ} = 73^{\circ}\).

Теория:Площадь треугольника можно выразить как половину произведения стороны на опущенную к ней высоту.Формула:\(S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b\).Шаг 1.Обозначим стороны треугольника: меньшая \(a = 15\), большая \(b = 18\). Высота к большей стороне \(h_b = 10\).Шаг 2.Вычислим площадь треугольника через известную пару сторона-высота: \(S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90\).Шаг 3.С другой стороны, выразим площадь через меньшую сторону и искомую высоту \(h_a\): \(90 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_a\).Шаг 4.Решим полученное уравнение относительно высоты: \(15h_a = 180 \implies h_a = 12\).

Теория:Применим теорему синусов, связывающую сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности.Формула:\(2R = \frac{AB}{\sin C}\).Шаг 1.Вычислим синус известного угла: \(\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).Шаг 2.Подставим значения: \(2R = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4\).Шаг 3.Следовательно, радиус описанной окружности равен: \(R = \frac{4}{2} = 2\).