Классическое определение вероятности: благоприятные исходы делим на все возможные. Монеты, кубики, жеребьёвки, выбор билетов на экзамене.
Задача 1Экзаменационные билеты
В сборнике билетов по географии всего 60 билетов, в девяти из них встречается вопрос по теме «Ресурсообеспеченность». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Ресурсообеспеченность».
Показать ответ
Ответ: 0.85
Решение
Теория:Классическая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Формула:\(P = \frac{m}{n}\). Шаг 1.Найдем количество «благоприятных» билетов (в которых НЕТ нужного вопроса): \(60 - 9 = 51\). Шаг 2.Общее количество билетов \(n = 60\). Шаг 3.Вычислим вероятность: \(P = \frac{51}{60} = \frac{17}{20} = 0,85\).
Задача 2Аудитории
На олимпиаде по математике 550 участников разместили в четырёх аудиториях. В первых трёх удалось разместить по 110 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Показать ответ
Ответ: 0.4
Решение
Теория:Вероятность попасть в определенную аудиторию равна отношению числа мест в ней к общему числу участников. Формула:\(P = \frac{m}{n}\). Шаг 1.Найдем, сколько человек село в первые три аудитории: \(3 \cdot 110 = 330\). Шаг 2.Найдем количество человек в запасной аудитории: \(550 - 330 = 220\). Шаг 3.Вычислим вероятность: \(P = \frac{220}{550} = \frac{22}{55} = \frac{2}{5} = 0,4\).
Задача 3Противоположное событие
Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 50 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытых дефектов.
Показать ответ
Ответ: 0.94
Решение
Теория:Сумма вероятностей противоположных событий (с дефектом и без) всегда равна 1. Формула:\(P(A) + P(\bar{A}) = 1\). Шаг 1.Вероятность купить сумку с дефектом равна \(\frac{3}{50} = 0,06\). Шаг 2.Вероятность купить качественную сумку: \(1 - 0,06 = 0,94\).
Задача 4Группы и рейсы
В группе туристов 20 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.
Показать ответ
Ответ: 0.2
Решение
Теория:Вероятность попасть в конкретный рейс равна отношению количества мест в этом рейсе к общему числу туристов. Порядковый номер рейса не имеет значения. Формула:\(P = \frac{m}{n}\). Шаг 1.Мест в первом рейсе \(m = 4\). Шаг 2.Всего туристов \(n = 20\). Шаг 3.Вероятность: \(P = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2\).
Задача 5Порядок выступлений
На конференцию приехали учёные из трёх стран: 5 из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из Сербии.
Показать ответ
Ответ: 0.4
Решение
Теория:В задачах на жеребьёвку порядок выступления не имеет значения. Вероятность выступать десятым точно такая же, как вероятность выступать первым или последним. Формула:\(P = \frac{m}{n}\). Шаг 1.Найдем общее число участников: \(5 + 4 + 6 = 15\). Шаг 2.Количество ученых из Сербии \(m = 6\). Шаг 3.Вычислим вероятность: \(P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4\).
Задача 6Монеты
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Показать ответ
Ответ: 0.5
Решение
Теория:Каждый бросок монеты независим. Для нахождения вероятности нужно выписать все возможные комбинации (исходы). Шаг 1.Монету бросают дважды. Возможные исходы: Орел-Орел (ОО), Орел-Решка (ОР), Решка-Орел (РО), Решка-Решка (РР). Всего 4 исхода. Шаг 2.Нам подходят те исходы, где решка выпала ровно один раз. Это варианты ОР и РО (всего 2 исхода). Шаг 3.Считаем вероятность: \(P = \frac{2}{4} = 0,5\).
Задача 7Кубики
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 8».
Показать ответ
Ответ: 0.12
Решение
Теория:Это задача на условную вероятность. Условие «шесть очков не выпало» ограничивает количество всех возможных исходов: кубик становится пятигранным. Шаг 1.Так как цифра 6 исключена, у нас остались грани 1, 2, 3, 4, 5. Общее число возможных исходов при двух бросках: \(5 \cdot 5 = 25\). Шаг 2.Найдем исходы, дающие в сумме 8 очков (без использования шестерки): (3;5), (4;4), (5;3). Всего 3 варианта. Шаг 3.Вероятность: \(P = \frac{3}{25} = 0,12\).
Задача 8Теоремы о вероятностях
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше четырёх задач, равна 0,73. Вероятность того, что А. верно решит больше трёх задач, равна 0,86. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 4 задачи.
Показать ответ
Ответ: 0.13
Решение
Теория:Событие «решил больше 3 задач» является объединением двух несовместных событий: «решил ровно 4 задачи» и «решил больше 4 задач». Формула:\(P(>3) = P(=4) + P(>4)\). Шаг 1.Запишем известные данные: \(P(>4) = 0,73\) и \(P(>3) = 0,86\). Шаг 2.Выразим искомое событие: \(P(=4) = P(>3) - P(>4)\). Шаг 3.Подставим числа: \(P(=4) = 0,86 - 0,73 = 0,13\).