Задание 6 ЕГЭ профиль по математике — математическое ожидание и случайные величины

Теория:Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех её возможных значений на вероятности их появления (или отношению суммарного призового фонда ко всем билетам).Формула:\(\text{Математическое ожидание} = \sum x_i p_i = \frac{\sum x_i n_i}{N}\).Шаг 1.Вычислим общий призовой фонд лотереи:
\(500 \cdot 100 + 100 \cdot 1000 + 50 \cdot 5000 + 10 \cdot 10000 + 1 \cdot 50000 = 50\,000 + 100\,000 + 250\,000 + 100\,000 + 50\,000 = 550\,000\) рублей.Шаг 2.Определим общее количество выпущенных билетов: \(N = 10\,000\).Шаг 3.Разделим призовой фонд на общее число билетов и получим математическое ожидание: \(\frac{550\,000}{10\,000} = 55\) рублей.

Теория:Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n\).Шаг 1.Составим сумму попарных произведений значений и вероятностей из таблицы:
\((-5) \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}3 + 5 \cdot 0{,}4 + 10 \cdot 0{,}1\).Шаг 2.Выполним умножение для каждого слагаемого: \(-1 + 0 + 2 + 1\).Шаг 3.Сложим полученные результаты: математическое ожидание равно \(2\).

Теория:Число успешных исходов в серии независимых испытаний подчиняется биномиальному закону распределения.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = n \cdot p\), где \(n\) — число испытаний, \(p\) — вероятность успеха в одном испытании.Шаг 1.Определим параметры испытаний Бернулли: число выстрелов \(n = 4\), вероятность попадания при одном выстреле \(p = 0{,}7\).Шаг 2.Подставим параметры в формулу: \(4 \cdot 0{,}7\).Шаг 3.Выполним умножение: математическое ожидание равно \(2{,}8\).

Теория:Количество бракованных изделий в партии независимых приборов подчиняется биномиальному закону.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = n \cdot p\).Шаг 1.Определим количество проверяемых приборов: \(n = 10\). Вероятность брака одного прибора: \(p = 0{,}05\).Шаг 2.Подставим величины в формулу: \(10 \cdot 0{,}05\).Шаг 3.Вычислим математическое ожидание: \(0{,}5\).

Теория:Случайная величина выигрыша принимает дискретные значения. Сначала определим вероятности каждого исхода, затем вычислим математическое ожидание.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = x_1 p_1 + x_2 p_2\).Шаг 1.У игрального кубика 6 граней. Чётные числа (2, 4, 6): \(p_1 = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Нечётные числа (1, 3, 5): \(p_2 = \frac{3}{6} = 0{,}5\).Шаг 2.При чётном исходе выигрыш равен \(x_1 = 6\), при нечётном выигрыш равен \(x_2 = -4\).Шаг 3.Вычислим математическое ожидание: \(6 \cdot 0{,}5 + (-4) \cdot 0{,}5 = 3 - 2 = 1\) рубль.

Теория:Математическое ожидание дискретной случайной величины очков за выстрел равно сумме произведений очков на их вероятности.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = x_1 p_1 + x_2 p_2\).Шаг 1.Выпишем исходы: попадание дает \(x_1 = 10\) с вероятностью \(p_1 = 0{,}8\); промах дает \(x_2 = -5\) с вероятностью \(p_2 = 0{,}2\).Шаг 2.Подставим значения в формулу: \(10 \cdot 0{,}8 + (-5) \cdot 0{,}2\).Шаг 3.Выполним вычисления: \(8 - 1 = 7\) очков.

Теория:Математическое ожидание выигрыша на один билет представляет собой средний доход с одного купленного билета.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = \frac{S_{\text{призов}}}{N_{\text{билетов}}}\).Шаг 1.Найдем суммарную стоимость всех выигрышных билетов:
\(200 \cdot 200 + 50 \cdot 1000 + 10 \cdot 5000 + 2 \cdot 25000 = 40\,000 + 50\,000 + 50\,000 + 50\,000 = 190\,000\) рублей.Шаг 2.Общее число билетов в тираже равно \(N = 5\,000\).Шаг 3.Вычислим математическое ожидание: \(\frac{190\,000}{5\,000} = 38\) рублей.

Теория:Математическое ожидание случайной величины определяется как сумма произведений каждого её значения на соответствующую ему вероятность.Формула:\(\text{Математическое ожидание} = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4\).Шаг 1.Подставим заданные значения и вероятности в формулу:
\(2 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}4 + 6 \cdot 0{,}3 + 8 \cdot 0{,}2\).Шаг 2.Вычислим каждое слагаемое: \(0{,}2 + 1{,}6 + 1{,}8 + 1{,}6\).Шаг 3.Находим итоговую сумму: математическое ожидание равно \(5{,}2\).