Задание 19 ЕГЭ профиль по математике — задачи с параметром

Теория / Данные: Сделаем замену \(t = 2^x\), где \(t > 0\). Уравнение принимает вид:
Шаг 1. Разложим левую часть на множители способом группировки:
Шаг 2. \((t - (3|a| + 2))(t + (a - 6)) = 0.\)
Шаг 3. Отсюда получаем два возможных корня: \(t_1 = 3|a| + 2, \quad t_2 = 6 - a.\)
Шаг 4. Каждый положительный корень \(t > 0\) дает ровно одно решение уравнения \(x = \log_2 t.\) Заметим, что \(t_1 = 3|a| + 2 \ge 2\) при всех \(a\), то есть корень \(t_1\) всегда положителен и дает решение.
Шаг 5. Тогда у исходного уравнения будет единственное решение в одном из двух случаев:
Шаг 6. 1) Второй корень неположительный, то есть \(t_2 \le 0 \iff 6 - a \le 0 \iff a \ge 6.\)
Шаг 7. 2) Второй корень положителен, но совпадает с первым: \(t_1 = t_2 \iff 3|a| + 2 = 6 - a \iff 3|a| = 4 - a.\)
Шаг 8. Решим полученное уравнение для двух случаев знака \(a\):

• Если \(a \ge 0: 3a = 4 - a \iff 4a = 4 \iff a = 1.\) При этом \(t_1 = t_2 = 5 > 0\) (подходит).
• Если \(a < 0: -3a = 4 - a \iff -2a = 4 \iff a = -2.\) При этом \(t_1 = t_2 = 8 > 0\) (подходит).

Шаг 9. Объединяя все случаи, получаем ответ: \(a \in \{-2; 1\} \cup [6; +\infty)\).

Теория / Данные: Сделаем замену \(t = 5^x\), где \(t > 0\). Уравнение принимает вид:
Шаг 1. Разложим левую часть на множители способом группировки:
Шаг 2. \((t - (3|a| + 5))(t - (a + 6)) = 0.\)
Шаг 3. Отсюда получаем два возможных корня: \(t_1 = 3|a| + 5, \quad t_2 = a + 6.\)
Шаг 4. Каждый положительный корень \(t > 0\) дает ровно одно решение уравнения \(x = \log_5 t.\) Заметим, что \(t_1 = 3|a| + 5 \ge 5\) при всех \(a\), то есть корень \(t_1\) всегда положителен и дает решение.
Шаг 5. Тогда у исходного уравнения будет единственное решение в одном из двух случаев:
Шаг 6. 1) Второй корень неположительный, то есть \(t_2 \le 0 \iff a + 6 \le 0 \iff a \le -6.\)
Шаг 7. 2) Второй корень положителен, но совпадает с первым: \(t_1 = t_2 \iff 3|a| + 5 = a + 6 \iff 3|a| = a + 1.\)
Шаг 8. Решим полученное уравнение для двух случаев знака \(a\):

• Если \(a \ge 0: 3a = a + 1 \iff 2a = 1 \iff a = \frac{1}{2}.\) При этом \(t_1 = t_2 = 6{,}5 > 0\) (подходит).
• Если \(a < 0: -3a = a + 1 \iff -4a = 1 \iff a = -\frac{1}{4}.\) При этом \(t_1 = t_2 = 5{,}75 > 0\) (подходит).

Шаг 9. Объединяя все случаи, получаем ответ: \(a \in (-\infty; -6] \cup \{-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\}\).

Теория / Данные: Исходное уравнение равносильно системе:
Шаг 1. Раскроем скобки в правой части первого уравнения:
Шаг 2. Разложим левую часть на множители:
Шаг 3. \(2x(2x^2 + 4x - 3ax - 6a) = 0 \iff 2x(2x(x + 2) - 3a(x + 2)) = 0 \iff 2x(2x - 3a)(x + 2) = 0.\)
Шаг 4. Корнями уравнения являются: \(x_1 = 0, \ x_2 = \frac{3a}{2}, \ x_3 = -2.\)
Шаг 5. Каждый из корней является решением исходного уравнения при условии \(f(x) = x^2 + 2x - 3a \ge 0.\) Проверим это условие для каждого корня:
Шаг 6. 1) Для \(x_1 = 0\) и \(x_3 = -2\): \(f(0) = f(-2) = -3a \ge 0 \iff a \le 0.\)
Шаг 7. 2) Для \(x_2 = \frac{3a}{2}\): \(f\left(\frac{3a}{2}\right) = \frac{9a^2}{4} \ge 0,\) что всегда верно при любых \(a.\)
Шаг 8. Уравнение имеет ровно 3 различных решения, когда все три корня \(x_1, x_2, x_3\) различны и удовлетворяют условию \(f(x) \ge 0\):

• Условие \(a \le 0\) должно выполняться строго (чтобы корни были различны и подходили), то есть \(a < 0.\)
• Корни должны быть попарно различны: \(x_1 \ne x_3\) (всегда верно), \(x_1 \ne x_2 \iff a \ne 0\) (уже учтено), и \(x_2 \ne x_3 \iff \frac{3a}{2} \ne -2 \iff a \ne -\frac{4}{3}.\)

Шаг 9. Таким образом, получаем условия: \(a < 0\) и \(a \ne -\frac{4}{3},\) что даёт ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; 0).\)

Теория / Данные: Исходное уравнение равносильно системе:
Шаг 1. Раскроем скобки в правой части первого уравнения:
Шаг 2. Разделим обе части на 8 и разложим левую часть на множители:
Шаг 3. Корнями уравнения являются: \(x_1 = 0, \ x_2 = 2a, \ x_3 = -4.\)
Шаг 4. Каждый из корней является решением исходного уравнения при условии \(f(x) = x^2 + 4x - 8a \ge 0.\) Проверим это условие:
Шаг 5. 1) Для \(x_1 = 0\) и \(x_3 = -4\): \(f(0) = f(-4) = -8a \ge 0 \iff a \le 0.\)
Шаг 6. 2) Для \(x_2 = 2a\): \(f(2a) = 4a^2 \ge 0,\) что всегда верно при любых \(a.\)
Шаг 7. Уравнение имеет ровно 3 различных решения, когда все три корня \(x_1, x_2, x_3\) различны и удовлетворяют условию \(f(x) \ge 0\):

• Условие \(a \le 0\) должно выполняться строго, то есть \(a < 0.\)
• Корни должны быть попарно различны: \(x_1 \ne x_3\) (всегда верно), \(x_1 \ne x_2 \iff a \ne 0\) (уже учтено), и \(x_2 \ne x_3 \iff 2a \ne -4 \iff a \ne -2.\)

Шаг 8. Таким образом, получаем условия: \(a < 0\) и \(a \ne -2,\) что даёт ответ: \(a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0).\)

Теория / Данные: Исходное уравнение определено при всех \(x \in [0; \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}.\) Запишем уравнение в виде \(A^2 = B^2 \iff (A - B)(A + B) = 0,\) где:
Шаг 1. Уравнение распадается на две возможности:
Шаг 2. 1) \(A = B \iff 2x + a + 1 - \operatorname{tg} x = 2x + a - 1 + \operatorname{tg} x \iff 2\operatorname{tg} x = 2 \iff \operatorname{tg} x = 1.\)
Шаг 3. На отрезке \([0; \pi]\) уравнение \(\operatorname{tg} x = 1\) имеет единственный корень: \(x_1 = \frac{\pi}{4}.\) Этот корень не зависит от \(a,\) всегда определён и даёт решение.
Шаг 4. 2) \(A = -B \iff 2x + a + 1 - \operatorname{tg} x = -(2x + a - 1 + \operatorname{tg} x) \iff 4x = -2a \iff x_2 = -\frac{a}{2}.\)
Шаг 5. Корень \(x_2 = -\frac{a}{2}\) даёт решение исходного уравнения на отрезке \([0; \pi],\) только если он попадает на этот отрезок и лежит в области определения:

• \(0 \le -\frac{a}{2} \le \pi \iff -2\pi \le a \le 0;\)
• \(x_2 \ne \frac{\pi}{2} \iff -\frac{a}{2} \ne \frac{\pi}{2} \iff a \ne -\pi.\)

Шаг 8. Уравнение имеет ровно одно решение на отрезке \([0; \pi],\) если корень \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) является единственным. Это возможно в следующих случаях:

• Корень \(x_2\) не попадает на отрезок, то есть \(a > 0\) или \(a < -2\pi.\)
• Корень \(x_2\) не определён, то есть \(a = -\pi.\)
• Корень \(x_2\) совпадает с первым: \(x_2 = x_1 \iff -\frac{a}{2} = \frac{\pi}{4} \iff a = -\frac{\pi}{2}.\)

Шаг 9. Во всех остальных случаях уравнение имеет ровно два различных решения \((x_1\) и \(x_2)\).
Шаг 10. Объединяя все подходящие значения, получаем: \(a \in (-\infty; -2\pi) \cup \{-\pi; -\frac{\pi}{2}\} \cup (0; +\infty).\)

Теория / Данные: Исходное уравнение определено при всех \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] \setminus \left\{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\}.\) Запишем уравнение в виде \(A^2 = B^2 \iff (A - B)(A + B) = 0,\) где:
Шаг 1. Уравнение распадается на две возможности:
Шаг 2. 1) \(A = B \iff 2\operatorname{tg} x = -2 \iff \operatorname{tg} x = -1.\)
Шаг 3. На интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\) уравнение \(\operatorname{tg} x = -1\) имеет единственный корень: \(x_1 = -\frac{\pi}{4}.\) Этот корень не зависит от \(a,\) всегда определён и даёт решение.
Шаг 4. 2) \(A = -B \iff 4x = -2a \iff x_2 = -\frac{a}{2}.\)
Шаг 5. Корень \(x_2 = -\frac{a}{2}\) даёт решение исходного уравнения на интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right),\) только если он попадает на этот интервал:
Шаг 6. \(-\frac{\pi}{2} < -\frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \iff -\pi < a < \pi.\)
Шаг 7. Уравнение имеет ровно одно решение, если корень \(x_1 = -\frac{\pi}{4}\) является единственным. Это возможно в случаях:

• Корень \(x_2\) не попадает на интервал, то есть \(a \ge \pi\) или \(a \le -\pi.\)
• Корень \(x_2\) совпадает с первым: \(x_2 = x_1 \iff -\frac{a}{2} = -\frac{\pi}{4} \iff a = \frac{\pi}{2}.\)

Шаг 8. Во всех остальных случаях уравнение имеет ровно два различных решения.
Шаг 9. Объединяя все подходящие значения, получаем: \(a \in (-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty).\)