Текстовые задачи на движение (по прямой, по воде, по кругу), совместную работу, смеси и сплавы, проценты и прогрессии.
Задача 1Смеси и сплавы
Имеется два сосуда. Первый содержит 40 кг, а второй — 25 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?
Показать ответ
Ответ: 10
Решение
Теория:Составим систему уравнений по массе чистого вещества в смеси.Шаг 1.Пусть \(x\%\) и \(y\%\) — концентрации кислот. Первое условие: \(40 \cdot 0,01x + 25 \cdot 0,01y = 0,3 \cdot 65\). Шаг 2.Второе условие: \(\frac{x+y}{2} = 36 \Rightarrow y = 72 - x\). Шаг 3.Подставляем во второе: \(8x + 5(72-x) = 390 \Rightarrow 3x = 30\). Шаг 4.Находим \(x = 10\%\).
Задача 2Средняя скорость
Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Показать ответ
Ответ: 55
Решение
Теория:Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.Формула:\(v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}\). Шаг 1.Время: \(1 + 3 + 2 = 6\) часов. Шаг 2.Путь: \(1 \cdot 115 + 3 \cdot 45 + 2 \cdot 40 = 115 + 135 + 80 = 330\) км. Шаг 3.Средняя скорость: \(330 : 6 = 55\) км/ч.
Задача 3Движение по прямой
Два велосипедиста одновременно отправились в 80-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Показать ответ
Ответ: 8
Решение
Теория:Составляем уравнение по разности времени на прохождение дистанции.Формула:\(t_{мед} - t_{быстр} = \Delta t\). Шаг 1.Пусть скорость второго \(v\), первого \(v+2\). Шаг 2.Уравнение: \(\frac{80}{v} - \frac{80}{v+2} = 2\). Шаг 3.Приводим к общему знаменателю: \(80(v+2) - 80v = 2v(v+2) \Rightarrow 160 = 2v^2 + 4v\). Шаг 4.Решаем квадратное уравнение: \(v^2 + 2v - 80 = 0\). Положительный корень \(v = 8\) км/ч.
Задача 4Встречное движение
Расстояние между городами А и В равно 500 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через час после этогo навстречу ему из города В выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 260 км от города А. Ответ дайте в км/ч.
Показать ответ
Ответ: 65
Решение
Теория:Задачи на движение навстречу друг другу.Шаг 1.Второй автомобиль проехал до встречи: \(500 - 260 = 240\) км. Шаг 2.Время в пути второго: \(240 : 80 = 3\) часа. Шаг 3.Первый выехал на час раньше, значит он был в пути \(3 + 1 = 4\) часа. Шаг 4.Скорость первого: \(v = 260 : 4 = 65\) км/ч.
Задача 5Движение по воде
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов. Ответ дайте в км/ч.
Показать ответ
Ответ: 18
Решение
Теория:Движение по реке: скорости складываются или вычитаются.Формула:\(v_{по} = v + v_{теч}, \ v_{пр} = v - v_{теч}\). Шаг 1.Время движения (без стоянки): \(13 - 4 = 9\) часов. Шаг 2.Уравнение: \(\frac{80}{v+2} + \frac{80}{v-2} = 9\). Шаг 3.Приводим к общему знаменателю: \(80(v-2 + v+2) = 9(v^2-4) \Rightarrow 160v = 9v^2 - 36\). Шаг 4.Решаем квадратное уравнение: \(9v^2 - 160v - 36 = 0 \Rightarrow v = 18\) км/ч.
Задача 6Движение по озеру
Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Показать ответ
Ответ: 22
Решение
Теория:Уравнение времени на озере (нет течения).Шаг 1.Туда: \(v\), обратно: \(v+2\). Остановка: 1 час. Шаг 2.Уравнение времени: \(\frac{264}{v} = \frac{264}{v+2} + 1\). Шаг 3.\(264(v+2) - 264v = v(v+2) \Rightarrow 528 = v^2 + 2v\). Шаг 4.Решаем \(v^2 + 2v - 528 = 0 \Rightarrow v = 22\) км/ч.
Задача 7Совместная работа
Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?
Показать ответ
Ответ: 18
Решение
Теория:Задачи на совместную работу аналогичны задачам на движение. Формула времени \(t = \frac{A}{p}\), где \(A\) — объем, \(p\) — производительность.Шаг 1.Пусть скорость 2-го рабочего \(p\), тогда 1-го \(p+7\). Шаг 2.Уравнение разности времен: \(\frac{198}{p} - \frac{198}{p+7} = 7\). Шаг 3.\(198 \cdot 7 = 7p(p+7) \Rightarrow p^2 + 7p - 198 = 0\). Шаг 4.Производительность второго \(p = 11\). Первый делает \(11 + 7 = 18\) деталей в час.
Задача 8Трубы и резервуары
Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
Показать ответ
Ответ: 14
Решение
Теория:Задачи на трубы решаются как задачи на совместную работу.Шаг 1.Пусть скорость 2-й трубы \(x\), первой \(x-6\). Шаг 2.Разница времен: \(\frac{112}{x-6} - \frac{112}{x} = 6\). Шаг 3.\(112 \cdot 6 = 6x(x-6) \Rightarrow x^2 - 6x - 112 = 0\). Шаг 4.Скорость второй трубы \(x = 14\) л/мин.