Задание 5 ЕГЭ профиль по математике — вероятность сложных событий: сложение и умножение вероятностей

Теория:Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их одновременного наступления.Формула:\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Шаг 1.Вычислим вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: \(0,1 + 0,1 - 0,03 = 0,17\). Шаг 2.Событие «кофе останется в обоих автоматах» является строго противоположным (кофе не закончится ни в одном). Шаг 3.Найдем его вероятность, вычтя результат из единицы: \(1 - 0,17 = 0,83\).

Теория:События независимы. Вероятность наступления нескольких независимых событий подряд равна произведению их вероятностей.Формула:\(P = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n\). Шаг 1.Вероятность попадания равна \(0,9\). Значит, вероятность промаха: \(1 - 0,9 = 0,1\). Шаг 2.Нам нужна конкретная последовательность: Попал - Попал - Попал - Промазал. Перемножаем вероятности этих исходов: \(0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1\). Шаг 3.Вычисляем: \(0,729 \cdot 0,1 = 0,0729\).

Теория:Для поиска «наименьшего количества выстрелов» удобно использовать вероятность противоположного события — «промахнуться абсолютно все \(n\) раз».Формула:\(P(\text{попадёт}) = 1 - P(\text{все промахи}) = 1 - q^n\). Шаг 1.Вероятность промаха при одном выстреле \(q = 1 - 0,5 = 0,5\). Шаг 2.Составим неравенство для вероятности поразить цель за \(n\) выстрелов: \(1 - 0,5^n \ge 0,7\). Шаг 3.Преобразуем: \(0,5^n \le 0,3\). Шаг 4.Подбираем \(n\): при \(n=1\) \(0,5 \le 0,3\) (неверно), при \(n=2\) \(0,5^2 = 0,25 \le 0,3\) (верно). Ответ: 2 выстрела.

Теория:Вероятность вытащить нужную комбинацию равна сумме вероятностей несовместных исходов (сначала синий, потом красный ИЛИ сначала красный, потом синий). Вероятность второго извлечения меняется, так как фломастеров становится на один меньше.Формула:\(P = P(A_1)\cdot P(B_2) + P(B_1)\cdot P(A_2)\). Шаг 1.Всего фломастеров: \(5 + 9 + 11 = 25\). Шаг 2.Вариант 1 (Сначала Синий, затем Красный): вероятность вытащить синий \(\frac{5}{25}\), затем красный из оставшихся \(\frac{9}{24}\). Произведение: \(\frac{5}{25} \cdot \frac{9}{24}\). Шаг 3.Вариант 2 (Сначала Красный, затем Синий): вероятность \(\frac{9}{25} \cdot \frac{5}{24}\). Шаг 4.Складываем оба варианта: \(2 \cdot (\frac{45}{600}) = \frac{90}{600} = \frac{15}{100} = 0,15\).

Теория:Событие «хотя бы одна не перегорит» строго противоположно событию «перегорят абсолютно все лампы». Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей.Формула:\(P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(\text{все перегорят})\). Шаг 1.Вероятность перегорания одной лампы равна \(0,8\). Найдем вероятность того, что перегорят все 3 лампы разом: \(0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,8^3 = 0,512\). Шаг 2.Вычтем эту вероятность из единицы, чтобы найти вероятность спасения хотя бы одной лампы: \(1 - 0,512 = 0,488\).

Теория:Применяем формулу полной вероятности. Батарейка может быть забракована в двух несовместных случаях: если она неисправна и система это заметила, ИЛИ если она исправна, но система ошиблась.Формула:\(P = P(A_1)\cdot P(B|A_1) + P(A_2)\cdot P(B|A_2)\). Шаг 1.Случай 1 (справедливый брак): вероятность того, что батарейка реально неисправна (\(0,01\)), умножаем на вероятность того, что система её забракует (\(0,96\)). Получаем: \(0,01 \cdot 0,96 = 0,0096\). Шаг 2.Случай 2 (ошибочный брак): вероятность того, что батарейка исправна (\(1 - 0,01 = 0,99\)), умножаем на вероятность ошибки системы (\(0,06\)). Получаем: \(0,99 \cdot 0,06 = 0,0594\). Шаг 3.Складываем вероятности обоих исходов: \(0,0096 + 0,0594 = 0,069\).

Теория:Теорема сложения вероятностей совместных событий и вероятность противоположного события.Формула:\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Шаг 1.Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов: \(0,1 + 0,1 - 0,05 = 0,15\). Шаг 2.Найдем вероятность противоположного события (кофе останется везде): \(1 - 0,15 = 0,85\).

Теория:Умножение вероятностей независимых событий.Шаг 1.Вероятность попадания \(0,8\), вероятность промаха \(1 - 0,8 = 0,2\). Шаг 2.Требуемая последовательность: Попал - Промах - Промах - Промах. Шаг 3.Перемножаем: \(0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,8 \cdot 0,2^3\). Шаг 4.Вычисляем: \(0,8 \cdot 0,008 = 0,0064\).