Задачи на поиск наибольшего или наименьшего значения величины: оптимальный план производства, затраты, прибыль — с помощью производной или свойств функций.
Задача 1Оптимизация (Физические процессы)
На заводе имеется генератор с ЭДС \(\varepsilon = 50\) В и внутренним сопротивлением \(r = 1\) Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки \(R\) (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: \(I = \frac{\varepsilon}{r + R}\). Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: \(P = I^2 R\). Какова максимальная тепловая мощность \(P\), которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
Ответ: 625
Решение
Теория:Для нахождения максимальной тепловой мощности выразим мощность нагрузки \(P\) как функцию от сопротивления \(R\) и исследуем её на экстремум с помощью производной.Формула:\(P(R) = I^2 R = \frac{\varepsilon^2 R}{(r + R)^2}\).Шаг 1.Подставим численные значения ЭДС \(\varepsilon = 50\) В и внутреннего сопротивления \(r = 1\) Ом:
\[P(R) = \frac{50^2 \cdot R}{(R + 1)^2} = \frac{2500R}{(R + 1)^2}\]Шаг 2.Найдём производную функции \(P(R)\) по правилу дифференцирования дроби:
\[P'(R) = 2500 \cdot \frac{1 \cdot (R + 1)^2 - R \cdot 2(R + 1)}{(R + 1)^4} = 2500 \cdot \frac{(R + 1) - 2R}{(R + 1)^3} = \frac{2500(1 - R)}{(R + 1)^3}\]Шаг 3.Исследуем знаки производной при \(R \ge 0\):
\(\bullet\) При \(0 \le R < 1\) производная \(P'(R) > 0\) (функция возрастает);
\(\bullet\) При \(R > 1\) производная \(P'(R) < 0\) (функция убывает).
Следовательно, точка \(R = 1\) Ом является точкой максимума функции мощности.Шаг 4.Вычислим максимальную тепловую мощность при \(R = 1\):
\[P(1) = \frac{2500 \cdot 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2500}{4} = 625 \text{ Вт.}\]
Задача 2Задачи на оптимизацию
Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) единиц товара. Оплата труда на первом заводе — 200 руб/час, на втором — 300 руб/час. На оплату выделяется 1 200 000 рублей в неделю. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на двух заводах?
Показать ответ
Ответ: 100
Решение
Теория:Обозначим через \(x\) и \(y\) количество товара, произведенного на 1-м и 2-м заводах (\(x \ge 0, y \ge 0\)).Формула:\(200x^2 + 300y^2 \le 1\,200\,000 \iff 2x^2 + 3y^2 \le 12\,000\).Шаг 1.По неравенству Коши-Буняковского: \((x+y)^2 \le (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})(2x^2 + 3y^2) = \frac{5}{6} \cdot 12\,000 = 10\,000\).Шаг 2.Следовательно, \(x+y \le 100\).Шаг 3.Максимальный выпуск равен 100 единицам при \(x = 60, y = 40\).
Задача 3Геометрическая оптимизация
Требуется построить открытый сверху прямоугольный резервуар с квадратным основанием объемом 32 кубических метра. При какой стороне основания в метрах площадь его поверхности будет наименьшей?
Показать ответ
Ответ: 4
Решение
Теория:Пусть сторона квадратного основания равна \(a\), а высота резервуара равна \(h\).Формула:\(V = a^2 h = 32 \implies h = \frac{32}{a^2}\).Шаг 1.Площадь открытого резервуара: \(S(a) = a^2 + 4ah = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}\).Шаг 2.Найдём производную: \(S'(a) = 2a - \frac{128}{a^2}\). Приравняем к нулю: \(2a = \frac{128}{a^2} \implies a^3 = 64\).Шаг 3.Отсюда находим точку минимума: \(a = 4\) метра.
Задача 4Оптимизация (Физические процессы)
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой \(A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2 - \tau^2)^2 + n\tau^2 T^2}}\), где \(k = 0{,}91\) — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, \(\theta_0 = 9^\circ\) — угол наибольшего волнового склона, \(\tau\) — период волны (в секундах), \(T = 14{,}7\) с — период свободных качаний корабля на тихой воде, \(n = 0{,}0792\) — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
Ответ: 15
Решение
Теория:Так как \(A > 0\), точки максимума функции \(A(\tau)\) и её квадрата \(A^2(\tau)\) совпадают. Сделаем замену \(x = \tau^2 > 0\) и исследуем подкоренную дробную функцию на экстремум.Формула:\(A^2 = (k\theta_0)^2 f(x)\), где \(f(x) = \frac{x^2}{(T^2 - x)^2 + nT^2 x} = \frac{x^2}{x^2 + (n - 2)T^2 x + T^4}\).Шаг 1.Знаменатель дроби положителен при \(x > 0\). Найдём производную функции \(f(x)\):
\[f'(x) = \frac{2x(x^2 + (n-2)T^2 x + T^4) - x^2(2x + (n-2)T^2)}{(x^2 + (n-2)T^2 x + T^4)^2}\]Шаг 2.Упростим числитель производной:
\[2x^3 + 2(n-2)T^2 x^2 + 2T^4 x - 2x^3 - (n-2)T^2 x^2 = (n-2)T^2 x^2 + 2T^4 x = T^2 x(2T^2 - (2-n)x)\]Шаг 3.Приравняем производную к нулю при \(x > 0\):
\[2T^2 - (2 - n)x = 0 \implies x_0 = \frac{2T^2}{2 - n} = \frac{T^2}{1 - \frac{n}{2}}\]Шаг 4.Так как \(n = 0{,}0792\), производная меняет знак с плюса на минус при переходе через \(x_0\), то есть \(x_0\) — точка максимума. Вычислим искомый период волны \(\tau = \sqrt{x_0}\):
\[\tau = \frac{T}{\sqrt{1 - \frac{n}{2}}} = \frac{14{,}7}{\sqrt{1 - \frac{0{,}0792}{2}}} = \frac{14{,}7}{\sqrt{1 - 0{,}0396}} = \frac{14{,}7}{\sqrt{0{,}9604}} = \frac{14{,}7}{0{,}98} = 15 \text{ с.}\]
Задача 5Задачи на оптимизацию
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство \(x\) тыс. единиц продукции составляют \(0{,}5x^2 + 2x + 6\) млн рублей в год. Вся продукция продается по цене \(p\) тыс. рублей за единицу. При каком наименьшем \(p\) завод окупит строительство не более чем за 3 года?
Показать ответ
Ответ: 10
Решение
Теория:Составим функцию годовой прибыли завода \(\Pi(x)\) и максимизируем её по объему выпуска \(x\).Формула:\(\Pi(x) = px - (0{,}5x^2 + 2x + 6) = -0{,}5x^2 + (p-2)x - 6\).Шаг 1.Вершина параболы прибыли: \(x_{\text{opt}} = p-2\). Максимальная годовая прибыль: \(\Pi_{\text{max}} = 0{,}5(p-2)^2 - 6\).Шаг 2.Условие окупаемости за 3 года: \(3 \cdot \Pi_{\text{max}} \ge 78 \iff \Pi_{\text{max}} \ge 26\).Шаг 3.\(0{,}5(p-2)^2 - 6 \ge 26 \iff (p-2)^2 \ge 64 \iff p - 2 \ge 8 \iff p \ge 10\).
Задача 6Геометрическая оптимизация
Какова максимальная площадь прямоугольника, периметр которого равен 36 см? Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 81
Решение
Теория:Среди всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.Формула:\(2(a + b) = 36 \implies b = 18 - a\).Шаг 1.Функция площади: \(S(a) = a(18 - a) = 18a - a^2\).Шаг 2.Вершина параболы: \(a = 9\) см. Тогда \(b = 9\) см (квадрат).Шаг 3.Максимальная площадь: \(S = 9 \cdot 9 = 81\) см².
Задача 7Оптимизация (Физические процессы)
К источнику тока с ЭДС \(\varepsilon = 60\) В и внутренним сопротивлением \(r = 3\) Ом подключен реостат с переменным сопротивлением \(R\). Тепловая мощность, выделяемая на реостате, определяется формулой \(P(R) = \frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}\). Найдите максимальную мощность (в ваттах), которую можно получить на этом реостате.
Показать ответ
Ответ: 300
Решение
Теория:Исследуем функцию выделяемой мощности \(P(R)\) на максимум по переменной \(R > 0\).Формула:\(P(R) = \frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}\).Шаг 1.Подставим значения \(\varepsilon = 60\) В и \(r = 3\) Ом: \(P(R) = \frac{3600R}{(R + 3)^2}\).Шаг 2.Найдём производную: \(P'(R) = 3600 \cdot \frac{(R + 3) - 2R}{(R + 3)^3} = \frac{3600(3 - R)}{(R + 3)^3}\).Шаг 3.Производная равна нулю при \(R = 3\) Ом (точка максимума).Шаг 4.Вычислим максимальную мощность: \(P(3) = \frac{3600 \cdot 3}{(3 + 3)^2} = \frac{10800}{36} = 300\) Вт.
Задача 8Задачи на оптимизацию
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами стоимостью \(t^2\) тыс. рублей в конце года \(t\). В конце любого года бумаги можно продать и положить деньги под 10% годовых. В конце какого года следует продать бумаги, чтобы к концу 25-го года сумма на счете была максимальной?
Показать ответ
Ответ: 20
Решение
Теория:Сумма в конце 25-го года при продаже в год \(t\) выражается формулой сложного процента.Формула:\(S(t) = t^2 \cdot 1{,}1^{25-t}\).Шаг 1.Сравним соседние значения: \(\frac{S(t+1)}{S(t)} = \frac{(t+1)^2 \cdot 1{,}1^{24-t}}{t^2 \cdot 1{,}1^{25-t}} = \frac{1}{1{,}1} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^2\).Шаг 2.\(S(t+1) > S(t) \iff 1 + \frac{1}{t} > \sqrt{1{,}1} \approx 1{,}0488 \iff t < 20{,}49\).Шаг 3.Следовательно, \(S(t)\) возрастает до \(t = 20\) включительно и достигает максимума в конце 20-го года.