Задание на объёмы и площади поверхностей призм, пирамид, цилиндров, конусов и шаров: как изменится объём при изменении размеров, комбинации тел, отношения объёмов.
Задача 1Объём части фигуры
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.
Показать ответ
Ответ: 18
Решение
Теория:Многогранник ABCC₁ — это треугольная пирамида с основанием ABC и вершиной C₁.Формула:\(V = \frac{1}{3} S_{осн} h\). Шаг 1.Площадь основания: \(S = 6\). Шаг 2.Высота: \(h = 9\). Шаг 3.Объём: \(V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 9 = 18\).
Задача 2Вписанные тела
Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Показать ответ
Ответ: 27
Решение
Теория:Объём цилиндра относится к объёму вписанного в него шара как 3 к 2.Формула:\(V_{цил} = 1{,}5 V_{шара}\). Шаг 1.Вычисляем: \(V_{цил} = 1{,}5 \cdot 18 = 27\).
Задача 3Площадь поверхности
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Показать ответ
Ответ: 12
Решение
Теория:Средняя линия отсекает треугольник, периметр которого ровно в 2 раза меньше.Формула:\(S_{бок} = P_{осн} h\). Шаг 1.Площадь боковой поверхности уменьшится в 2 раза: \(24 / 2 = 12\).
Задача 4Отсеченная призма
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Показать ответ
Ответ: 13
Решение
Теория:Средняя линия отсекает площадь в 4 раза меньше.Формула:\(V_{отсеч} = \frac{1}{4} V_{исх}\). Шаг 1.Объём: \(52 / 4 = 13\).
Задача 5Объём части параллелепипеда
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB=6, BC=5, AA₁=4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁.
Показать ответ
Ответ: 20
Решение
Теория:Пирамида занимает 1/6 объёма параллелепипеда.Формула:\(V = \frac{1}{6} abc\). Шаг 1.Общий объём: \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\). Шаг 2.Искомый объём: \(120 / 6 = 20\).
Задача 6Изменение измерений
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
Показать ответ
Ответ: 20
Решение
Теория:Анализ формулы объема цилиндра.Формула:\(V = \pi R^2 h\). Шаг 1.Радиус увеличился в 2 раза ⇒ площадь основания в 4 раза. Шаг 2.Высота уменьшилась в 3 раза. Шаг 3.Новый объём: \(V_{нов} = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20\).
Задача 7Вписанный конус
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 30. Найдите объём конуса.
Показать ответ
Ответ: 10
Решение
Теория:Объём конуса в 3 раза меньше цилиндра.Формула:\(V_{конуса} = \frac{1}{3} V_{цил}\). Шаг 1.Объём конуса: \(V = 30 / 3 = 10\).
Задача 8Вписанный конус. Площадь
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Показать ответ
Ответ: 5
Решение
Теория:Связь через радиус R.Формула:\(S_{цил} = 2\pi R^2, \ S_{кон} = \pi RL\). Шаг 1.Образующая конуса: \(L = R\sqrt{2}\). Шаг 2.Боковая площадь конуса: \(S_{кон} = \pi R^2 \sqrt{2}\). Шаг 3.Из площади цилиндра: \(\pi R^2 = 2{,}5\sqrt{2}\). Шаг 4.Находим площадь конуса: \(S_{кон} = 2{,}5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5\).