Задание 13 ЕГЭ профиль по математике — экономические задачи: кредиты, вклады, оптимизация

Теория / Данные: Пусть \(S = 419\,375\) рублей — сумма кредита, а \(k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2 = \frac{6}{5}\) — коэффициент начисления процентов.
Шаг 1. Так как кредит гасится за 4 года равными платежами \(X\), составим уравнение остатка долга по годам:
\(\bullet\) Конец 1-го: \(S_1 = S \cdot k - X\)
\(\bullet\) Конец 2-го: \(S_2 = S \cdot k^2 - X(k + 1)\)
\(\bullet\) Конец 3-го: \(S_3 = S \cdot k^3 - X(k^2 + k + 1)\)
\(\bullet\) Конец 4-го: \(S_4 = S \cdot k^4 - X(k^3 + k^2 + k + 1) = 0\).
Формула: Отсюда находим ежегодный платёж \(X\):
\(X = \frac{S \cdot k^4}{k^3 + k^2 + k + 1}\).
Шаг 2. Вычислим значение знаменателя при \(k = 1{,}2\):
\(k^3 + k^2 + k + 1 = 1{,}728 + 1{,}44 + 1{,}2 + 1 = 5{,}368 = \frac{671}{125}\).
Шаг 3. Тогда:
\(X = \frac{419\,375 \cdot (1{,}2)^4}{5{,}368} = \frac{419\,375}{625} \cdot \frac{125}{671} \cdot 1296 = 162\,000\) рублей.
Шаг 4. Общая сумма, выплаченная банку, составляет четыре таких платежа:
\(4X = 4 \cdot 162\,000 = 648\,000\) рублей.

Теория / Данные: Пусть \(S = 177\,120\) рублей — сумма кредита, а \(k = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25 = \frac{5}{4}\) — коэффициент начисления процентов.
Шаг 1. Так как кредит гасится за 4 года равными платежами \(X\), составим уравнение остатка долга по годам:
\(\bullet\) Конец 1-го: \(S_1 = S \cdot k - X\)
\(\bullet\) Конец 2-го: \(S_2 = S_1 \cdot k - X = S \cdot k^2 - X(k + 1)\)
\(\bullet\) Конец 3-го: \(S_3 = S_2 \cdot k - X = S \cdot k^3 - X(k^2 + k + 1)\)
\(\bullet\) Конец 4-го: \(S_4 = S_3 \cdot k - X = S \cdot k^4 - X(k^3 + k^2 + k + 1) = 0\).
Формула: Отсюда находим ежегодный платёж \(X\):
\(X = \frac{S \cdot k^4}{k^3 + k^2 + k + 1}\).
Шаг 2. Вычислим значение знаменателя при \(k = \frac{5}{4}\):
\(k^3 + k^2 + k + 1 = \frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{369}{64}\).
Шаг 3. Тогда:
\(X = \frac{177\,120 \cdot \frac{625}{256}}{\frac{369}{64}} = 177\,120 \cdot \frac{625}{256} \cdot \frac{64}{369} = 75\,000\) рублей.
Шаг 4. Общая сумма, выплаченная банку, составляет четыре таких платежа:
\(4X = 4 \cdot 75\,000 = 300\,000\) рублей.

Теория / Данные: Пусть \(S\) — искомая сумма кредита, а \(k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1 = \frac{11}{10}\) — коэффициент начисления процентов.
Шаг 1. Кредит гасится за 4 года равными платежами \(X\). Общая сумма платежей равна \(292\,820\) рублей. Находим величину одного платежа:
\(X = \frac{292\,820}{4} = 73\,205\) рублей.
Формула: Связь между суммой кредита \(S\) и ежегодным платежом \(X\) выражается формулой:
\(X = \frac{S \cdot k^4}{k^3 + k^2 + k + 1} \implies S = X \cdot \frac{k^3 + k^2 + k + 1}{k^4}\).
Шаг 2. Для \(k = 1{,}1\) получаем:
\(k^3 + k^2 + k + 1 = 1{,}331 + 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 4{,}641\); и \(k^4 = 1{,}4641\).
Шаг 3. Тогда вычислим \(S\):
\(S = 73\,205 \cdot \frac{4{,}641}{1{,}4641} = \frac{73\,205}{1{,}4641} \cdot 4{,}641 = 50\,000 \cdot 4{,}641 = 232\,050\) рублей.

Теория / Данные: Пусть \(S\) — искомая сумма кредита, а \(k = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25 = \frac{5}{4}\) — коэффициент начисления процентов.
Шаг 1. Кредит гасится за 4 года равными платежами \(X\). Общая сумма платежей равна \(375\,000\) рублей. Находим величину одного платежа:
\(X = \frac{375\,000}{4} = 93\,750\) рублей.
Формула: Связь между суммой кредита \(S\) и ежегодным платежом \(X\) выражается формулой:
\(X = \frac{S \cdot k^4}{k^3 + k^2 + k + 1} \implies S = X \cdot \frac{k^3 + k^2 + k + 1}{k^4}\).
Шаг 2. Для \(k = \frac{5}{4}\) получаем:
\(k^3 + k^2 + k + 1 = \frac{369}{64}\); и \(k^4 = \frac{625}{256}\).
Шаг 3. Тогда вычислим \(S\):
\(S = 93\,750 \cdot \frac{369/64}{625/256} = 93\,750 \cdot \frac{369}{64} \cdot \frac{256}{625} = 221\,400\) рублей.

Теория / Данные: Кредит погашается четырьмя равными платежами, а общая сумма выплат составляет \(311\,040\) рублей. Процентная ставка составляет \(20\%\), значит, каждый год долг умножается на коэффициент \(k = 1{,}2 = \frac{6}{5}\).
Шаг 1. Находим один ежегодный платеж \(x\):
\(x = \frac{311\,040}{4} = 77\,760\) рублей.
Шаг 2. Сумма долга \(S\) через 4 года (с учетом ежегодных платежей \(x\)) приравнивается к нулю:
\(S \cdot k^4 - x \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0 \implies S \cdot k^4 = x(k^3 + k^2 + k + 1)\).
Шаг 3. Подставим \(k = \frac{6}{5}\):
\(S \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^4 = x \cdot \left(\left(\frac{6}{5}\right)^3 + \left(\frac{6}{5}\right)^2 + \frac{6}{5} + 1\right)\).
Шаг 4. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
\(S \cdot \frac{1296}{625} = x \cdot \frac{671}{125} \implies S = x \cdot \frac{671}{125} \cdot \frac{625}{1296} = x \cdot \frac{3355}{1296}\).
Шаг 5. Подставим значение платежа \(x = 77\,760\):
\(S = 77\,760 \cdot \frac{3355}{1296} = 60 \cdot 3355 = 201\,300\) рублей.

Теория / Данные: Пусть \(S\) — сумма кредита. Ставка составляет \(10\%\), следовательно, каждый год долг увеличивается в \(k = 1{,}1\) раза. Кредит погашается тремя равными платежами \(x\).
Шаг 1. Распишем остаток долга по годам:
1) После 1-го года: \(1{,}1S - x\)
2) После 2-го года: \(1{,}1(1{,}1S - x) - x = 1{,}21S - 2{,}1x\)
3) После 3-го года: \(1{,}1(1{,}21S - 2{,}1x) - x = 1{,}331S - 3{,}31x\).
Шаг 2. Так как через 3 года долг полностью погашен, приравняем остаток к нулю:
\(1{,}331S - 3{,}31x = 0 \implies 1{,}331S = 3{,}31x\).
Шаг 3. Умножим обе части на 3, чтобы выразить общую сумму выплат \((3x)\):
\(3 \cdot 1{,}331S = 3{,}31 \cdot (3x) \implies 3x = \frac{3{,}993}{3{,}31}S = \frac{3993}{3310}S\).
Шаг 4. По условию общая сумма выплат на \(40\,980\) рублей больше суммы кредита:
\(3x - S = 40\,980 \implies \frac{3993}{3310}S - S = 40\,980 \implies \frac{683}{3310}S = 40\,980\).
Шаг 5. Отсюда: \(S = \frac{40\,980 \cdot 3310}{683} = 60 \cdot 3310 = 198\,600\) рублей.

Теория / Данные: Пусть \(S\) рублей — сумма кредита, а \(k = 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25 = \frac{5}{4}\) — коэффициент начисления процентов. Кредит погашается тремя равными платежами \(X\).
Шаг 1. Распишем остаток долга по годам:
\(\bullet\) Конец 1-го: \(S_1 = S \cdot k - X\)
\(\bullet\) Конец 2-го: \(S_2 = S \cdot k^2 - X(k + 1)\)
\(\bullet\) Конец 3-го: \(S_3 = S \cdot k^3 - X(k^2 + k + 1) = 0\).
Формула: Отсюда выразим ежегодный платёж \(X\):
\(X = \frac{S \cdot k^3}{k^2 + k + 1}\).
Шаг 2. Подставим \(k = \frac{5}{4}\):
\(k^2 + k + 1 = \frac{61}{16}\); \(k^3 = \frac{125}{64}\). Тогда: \(X = S \cdot \frac{125}{64} \cdot \frac{16}{61} = S \cdot \frac{125}{244}\).
Шаг 3. Полная сумма всех платежей равна \(3X\):
\(3X = S \cdot \frac{375}{244}\).
Шаг 4. По условию задачи, общая сумма выплат на 104 800 рублей больше суммы кредита \(S\):
\(3X - S = 104\,800 \implies S \cdot \frac{375}{244} - S = 104\,800 \implies S \cdot \frac{131}{244} = 104\,800\).
Шаг 5. Выразим сумму кредита \(S\):
\(S = \frac{104\,800 \cdot 244}{131} = 195\,200\) рублей.
Общая сумма выплат банку составит: \(3X = 195\,200 + 104\,800 = 300\,000\) рублей.

Теория / Данные: Пусть \(S\) рублей — сумма кредита, а \(k = 1{,}1\) — коэффициент начисления процентов. Кредит погашается тремя равными платежами \(X\).
Шаг 1. Распишем остаток долга по годам:
\(\bullet\) Конец 1-го: \(S_1 = S \cdot k - X\)
\(\bullet\) Конец 2-го: \(S_2 = S \cdot k^2 - X(k + 1)\)
\(\bullet\) Конец 3-го: \(S_3 = S \cdot k^3 - X(k^2 + k + 1) = 0\).
Формула: Отсюда выразим ежегодный платёж \(X\):
\(X = \frac{S \cdot k^3}{k^2 + k + 1}\).
Шаг 2. Подставим \(k = 1{,}1\):
\(k^2 + k + 1 = 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 3{,}31\); \(k^3 = 1{,}331\). Тогда: \(X = S \cdot \frac{1331}{3310}\).
Шаг 3. Полная сумма всех платежей равна \(3X\):
\(3X = S \cdot \frac{3993}{3310}\).
Шаг 4. По условию, общая сумма выплат на 34 150 рублей больше суммы кредита \(S\):
\(3X - S = 34\,150 \implies S \cdot \frac{3993}{3310} - S = 34\,150 \implies S \cdot \frac{683}{3310} = 34\,150\).
Шаг 5. Выразим сумму кредита \(S\):
\(S = \frac{34\,150 \cdot 3310}{683} = 165\,500\) рублей.
Общая сумма выплат банку составит: \(3X = 165\,500 + 34\,150 = 199\,650\) рублей.