Задание 16 ЕГЭ профиль по математике — неравенства: логарифмические, показательные, рациональные, метод интервалов

Теория:Для решения показательного рационального неравенства определим ОДЗ и воспользуемся методом замены переменной.Шаг 1.ОДЗ неравенства: знаменатели дробей не должны обращаться в нуль. Отсюда получаем: \( 3^x - 27 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 27 \Rightarrow x \neq 3 \). Знаменатель первой дроби всегда положителен (\( 3^x + 27 > 0 \) при любом \( x \)).Шаг 2.Пусть \( t = 3^x \), где \( t > 0 \). Перепишем исходное неравенство: \( \frac{2}{t + 27} \geqslant \frac{1}{t - 27} \). Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю: \( \frac{2}{t + 27} - \frac{1}{t - 27} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{2(t - 27) - (t + 27)}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{t - 81}{(t + 27)(t - 27)} \geqslant 0 \).Шаг 3.Поскольку показательная функция всегда принимает строго положительные значения, то \( t = 3^x > 0 \), а значит, выражение в знаменателе \( t + 27 \) всегда строго больше нуля. Разделим обе части неравенства на \( t + 27 \). Знак неравенства не изменится: \( \frac{t - 81}{t - 27} \geqslant 0 \). Решая методом интервалов для \( t > 0 \), получаем: \( t \in (0; 27) \cup [81; +\infty) \).Шаг 4.Выполним обратную замену: С учётом ОДЗ записываем итоговое объединение промежутков.
Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \cup [4; +\infty) \)

Теория:Для решения этого логарифмического неравенства определим ОДЗ, упростим аргумент логарифма в числителе и применим метод замены.Шаг 1.ОДЗ: аргумент логарифма строго положителен \( x > 0 \). Знаменатель не равен нулю: \( \log_2^2 x - 36 \neq 0 \Rightarrow \log_2 x \neq \pm 6 \Rightarrow x \neq 64, x \neq \frac{1}{64} \). По свойствам логарифма упростим числитель: \( \log_2(4x^2) = \log_2 4 + \log_2 x^2 = 2 + 2\log_2 x \) (модуль раскрывается как \( x \), так как \( x > 0 \)).Шаг 2.Пусть \( t = \log_2 x \). Неровенство примет вид: \( \frac{2t + 37}{t^2 - 36} \geqslant -1 \). Перенесем -1 влево со знаком плюс и приведем к общему знаменателю: \( \frac{2t + 37 + t^2 - 36}{t^2 - 36} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - 36} \geqslant 0 \).Шаг 3.Свернем числитель в полный квадрат: \( \frac{(t + 1)^2}{(t - 6)(t + 6)} \geqslant 0 \). Числитель обращается в нуль при \( t = -1 \) (это изолированная точка решения). При \( t \neq -1 \) числитель положителен, и знак дроби зависит от знаменателя: \( (t - 6)(t + 6) > 0 \Rightarrow t \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \). Таким образом, \( t \in (-\infty; -6) \cup \{-1\} \cup (6; +\infty) \).Шаг 4.Выполним обратную замену: Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \( x \in (0; \frac{1}{64}) \cup (64; +\infty) \cup \{\frac{1}{2}\} \)

Теория:Это сложное смешанное неравенство приводится к рациональному виду с помощью замены переменной.Шаг 1.ОДЗ: знаменатели всех дробей отличны от нуля. Из условий получаем ограничения: \( 2^x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \); \( 2^{x+1} - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \); \( 4^{x+0,5} - 9 \cdot 2^x + 4 \neq 0 \Rightarrow 2 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1 \). Таким образом, ОДЗ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \). Сделаем замену \( t = 2^x \), где \( t > 0 \).Шаг 2.Перепишем неравенство в терминах \( t \): \( \frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1} \). Разделим числитель левой части на её знаменатель столбиком: получаем целую часть \( 2t \) и остаток в числителе, то есть \( 2t + \frac{5t-13}{(2t-1)(t-4)} \).Шаг 3.Подставим это выражение в неравенство: \( 2t + \frac{5t-13}{(2t-1)(t-4)} \leqslant 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1} \). Сократим \( 2t \) с обеих сторон и перенесем все члены влево: \( \frac{5t-13}{(2t-1)(t-4)} + \frac{1}{t-2} - \frac{3}{2t-1} \leqslant 0 \). Приведем к общему знаменателю \( (2t-1)(t-2)(t-4) \) и упростим числитель: \( \frac{2(t-3)}{(2t-1)(t-2)} \leqslant 0 \).Шаг 4.Решим данное неравенство методом интервалов для \( t > 0 \): \( t \in (0; 0,5) \cup (0,5; 2) \cup [3; 4) \). Сделаем обратную замену \( x = \log_2 t \): 1) \( 2^x < 0,5 \Rightarrow x < -1 \); 2) \( 0,5 < 2^x < 2 \Rightarrow -1 < x < 1 \); 3) \( 3 \leqslant 2^x < 4 \Rightarrow \log_2 3 \leqslant x < 2 \). Записываем объединение с учетом ОДЗ.
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2) \)

Теория:Решим дробно-показательное неравенство, сведя его к алгебраическому с помощью введения новой переменной.Шаг 1.Определим ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в нуль. Получаем систему условий: \( 3^x - 81 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \) и \( 3^x - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \). Введем замену переменной: \( t = 3^x \), при этом \( t > 0 \).Шаг 2.Запишем неравенство в терминах переменной \( t \): \( \frac{13}{t - 81} \leqslant \frac{1}{t - 9} \). Перенесем все члены влево и упростим дробь: \( \frac{13}{t - 81} - \frac{1}{t - 9} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{13(t - 9) - (t - 81)}{(t - 81)(t - 9)} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{12t - 36}{(t - 81)(t - 9)} \leqslant 0 \).Шаг 3.Разделим обе части неравенства на 12. Знак неравенства сохранится: \( \frac{t - 3}{(t - 81)(t - 9)} \leqslant 0 \). Применяя метод интервалов на области \( t > 0 \), находим промежутки, где дробь неположительна: \( t \in (0; 3] \cup (9; 81) \).Шаг 4.Выполним обратную замену: Все полученные интервалы полностью удовлетворяют условиям ОДЗ.
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup (2; 4) \)

Теория:Решим логарифмическое неравенство с помощью свойств логарифма и введения новой переменной.Шаг 1.ОДЗ: аргумент логарифма положителен \( x > 0 \). Знаменатель отличен от нуля: \( \log_3^2 x - \log_3 x^4 \neq 0 \). Так как \( x > 0 \), то \( \log_3 x^4 = 4\log_3 x \). Знаменатель примет вид: \( \log_3 x(\log_3 x - 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq 81 \). Упростим числитель: \( 2\log_3(9x) - 13 = 2(\log_3 9 + \log_3 x) - 13 = 2\log_3 x - 9 \).Шаг 2.Пусть \( t = \log_3 x \). Неравенство примет вид: \( \frac{2t - 9}{t^2 - 4t} \leqslant 1 \). Перенесем единицу влево и приведем к общему знаменателю: \( \frac{2t - 9 - (t^2 - 4t)}{t(t - 4)} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{-t^2 + 6t - 9}{t(t - 4)} \leqslant 0 \).Шаг 3.Умножим неравенство на -1 (знак изменится на противоположный) и свернем числитель в полный квадрат: \( \frac{(t - 3)^2}{t(t - 4)} \geqslant 0 \). Числитель равен нулю при \( t = 3 \). При \( t \neq 3 \) знак определяется знаком знаменателя: \( t(t - 4) > 0 \Rightarrow t \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) \). Объединяя решения, получаем: \( t \in (-\infty; 0) \cup \{3\} \cup (4; +\infty) \).Шаг 4.Выполним обратную замену: Полученные интервалы полностью согласуются с ОДЗ.
Ответ: \( x \in (0; 1) \cup \{27\} \cup (81; +\infty) \)

Теория:Сведем знаменатель к алгебраическому виду, раскрыв модуль с учетом ОДЗ логарифмических аргументов.Шаг 1.Определим ОДЗ: из условий существования логарифмов аргументы должны быть строго положительны, следовательно, \( x > 0 \). Знаменатель отличен от нуля: \( 5x^2 - |x| \neq 0 \). Т.к. \( x > 0 \), модуль раскрывается с плюсом: \( x(5x - 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1/5 \).Шаг 2.Запишем неравенство в виде: \( \frac{\log_3(9x) \cdot \log_4(64x)}{x(5x - 1)} \leqslant 0 \). Найдём нули числителя: \( log_3(9x) = 0 \Rightarrow 9x = 1 \Rightarrow x = 1/9 \); \( \log_4(64x) = 0 \Rightarrow 64x = 1 \Rightarrow x = 1/64 \).Шаг 3.Критические точки делят область допустимых значений на интервалы: \( 0 \) и \( 1/5 \) — выколотые, а \( 1/64 \) и \( 1/9 \) — закрашенные. Расположим их на числовой прямой по возрастанию: \( 0 < 1/64 < 1/9 < 1/5 \).Шаг 4.Применим метод интервалов на области \( x > 0 \). Расставляем знаки выражения на интервалах и выбираем те, где дробь неположительна. Получаем промежутки: \( x \in (0; 1/64] \cup [1/9; 1/5) \).
Ответ: \( x \in (0; 1/64] \cup [1/9; 1/5) \)

Теория:Показательное неравенство приводится к рациональному виду с помощью замены переменной.Шаг 1.Определим ОДЗ: знаменатели дробей отличны от нуля, откуда \( 3^x - 27 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \) и \( 3^x - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \). Введём стандартную замену: \( t = 3^x \), при условии \( t > 0 \).Шаг 2.Перепишем неравенство: \( \frac{4}{t - 27} \geqslant \frac{1}{t - 9} \). Перенесём все члены влево и приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{4}{t - 27} - \frac{1}{t - 9} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{4(t - 9) - (t - 27)}{(t - 27)(t - 9)} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{3t - 9}{(t - 27)(t - 9)} \geqslant 0 \).Шаг 3.Разделим неравенство на 3, получим: \( \frac{t - 3}{(t - 27)(t - 9)} \geqslant 0 \). Критические точки для метода интервалов: корень числителя \( t = 3 \) (точка закрашена), корни знаменателя \( t = 9 \) и \( t = 27 \) (выколоты). Решаем с учётом \( t > 0 \): \( t \in [3; 9) \cup (27; +\infty) \).Шаг 4.Выполним обратную замену: Записываем итоговое объединение полученных промежутков.
Ответ: \( x \in [1; 2) \cup (3; +\infty) \)

Теория:Решим логарифмическое неравенство, упростив числитель и применив замену переменной.Шаг 1.ОДЗ: аргумент логарифма положителен \( x > 0 \). Знаменатель отличен от нуля: \( \log_4^2 x - 9 \neq 0 \Rightarrow \log_4 x \neq \pm 3 \Rightarrow x \neq 64, x \neq \frac{1}{64} \). Упростим числитель: \( \log_4(16x^4) = \log_4 16 + \log_4(x^4) = 2 + 4\log_4 x \) (модуль опускается, так как \( x > 0 \)).Шаг 2.Пусть \( t = \log_4 x \). Запишем неравенство: \( \frac{4t + 13}{t^2 - 9} \geqslant -1 \). Перенесем -1 влево и приведем к общему знаменателю: \( \frac{4t + 13 + t^2 - 9}{t^2 - 9} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 4t + 4}{t^2 - 9} \geqslant 0 \).Шаг 3.Свернём числитель в полный квадрат: \( \frac{(t + 2)^2}{(t - 3)(t + 3)} \geqslant 0 \). Точка равенства числителя нулю \( t = -2 \) является изолированным решением. При \( t \neq -2 \) знак дроби зависит от знаменателя: \( (t - 3)(t + 3) > 0 \Rightarrow t \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \). Таким образом, получаем: \( t \in (-\infty; -3) \cup \{-2\} \cup (3; +\infty) \).Шаг 4.Выполним обратную замену: Все корни полностью удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \( x \in (0; \frac{1}{64}) \cup (64; +\infty) \cup \{\frac{1}{16}\} \)