Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии с практическим сюжетом.
Задача 1Арифметическая прогрессия
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Показать ответ
Ответ: 46
Решение
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 25\) и разностью \(d = 3\).
Формула \(n\)-го члена: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\]Для \(n = 8\): \[a_{8} = 25 + (8 - 1) \cdot 3 = 25 + 21 = 46\]Ответ: 46
Задача 2Геометрическая прогрессия
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Показать ответ
Ответ: 10
Решение
Масса уменьшается в 2 раза каждые 7 минут. За 42 минут пройдёт: \[n = \frac{42}{7} = 6\text{ периодов}\]Масса уменьшится в \(2^{6} = 64\) раз:
\[m = \frac{640}{2^{6}} = \frac{640}{64} = 10\text{ мг}\]Ответ: 10
Задача 3Арифметическая прогрессия
В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
Показать ответ
Ответ: 47
Решение
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 20\) и разностью \(d = 3\).
Формула \(n\)-го члена: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\]Для \(n = 10\): \[a_{10} = 20 + (10 - 1) \cdot 3 = 20 + 27 = 47\]Ответ: 47
Задача 4Геометрическая прогрессия
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Показать ответ
Ответ: 10
Решение
Масса уменьшается в 2 раза каждые 7 минут. За 28 минут пройдёт: \[n = \frac{28}{7} = 4\text{ периодов}\]Масса уменьшится в \(2^{4} = 16\) раз:
\[m = \frac{160}{2^{4}} = \frac{160}{16} = 10\text{ мг}\]Ответ: 10
Задача 5Арифметическая прогрессия
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?
Показать ответ
Ответ: 41
Решение
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 21\) и разностью \(d = 2\).
Формула \(n\)-го члена: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\]Для \(n = 11\): \[a_{11} = 21 + (11 - 1) \cdot 2 = 21 + 20 = 41\]Ответ: 41
Задача 6Геометрическая прогрессия
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Показать ответ
Ответ: 10
Решение
Масса уменьшается в 2 раза каждые 8 минут. За 40 минут пройдёт: \[n = \frac{40}{8} = 5\text{ периодов}\]Масса уменьшится в \(2^{5} = 32\) раз:
\[m = \frac{320}{2^{5}} = \frac{320}{32} = 10\text{ мг}\]Ответ: 10
Задача 7Арифметическая прогрессия
В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в тринадцатом ряду амфитеатра?
Показать ответ
Ответ: 43
Решение
Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 19\) и разностью \(d = 2\).
Формула \(n\)-го члена: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\]Для \(n = 13\): \[a_{13} = 19 + (13 - 1) \cdot 2 = 19 + 24 = 43\]Ответ: 43
Задача 8Геометрическая прогрессия
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Показать ответ
Ответ: 5
Решение
Масса уменьшается в 2 раза каждые 8 минут. За 40 минут пройдёт: \[n = \frac{40}{8} = 5\text{ периодов}\]Масса уменьшится в \(2^{5} = 32\) раз:
\[m = \frac{160}{2^{5}} = \frac{160}{32} = 5\text{ мг}\]Ответ: 5