Задание 24 ОГЭ по математике — геометрическая задача на доказательство

ТЕОРИЯ: Если отрезок виден из двух точек под прямым углом, то эти точки лежат на окружности, диаметром которой является данный отрезок. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

ОСНОВНОЙ ФАКТ: Отрезок \(AC\) виден из точек \(A_1\) и \(C_1\) под углом \(90^\circ\) \(\implies A, C_1, A_1, C\) лежат на одной окружности с диаметром \(AC\).

ШАГ 1. Так как \(AA_1 \perp BC\) и \(CC_1 \perp AB\), то \(\angle AC_1C = \angle AA_1C = 90^\circ\).

ШАГ 2. Следовательно, четырёхугольник \(AC_1A_1C\) является вписанным в окружность с диаметром \(AC\).

ШАГ 3. Углы \(\angle CC_1A_1\) и \(\angle CAA_1\) являются вписанными в эту окружность и опираются на одну и ту же дугу \(CA_1\). Значит, \(\angle CC_1A_1 = \angle CAA_1\), что и требовалось доказать.

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной тупого угла, подобен исходному треугольнику.

ПРИЗНАК ПОДОБИЯ: По двум пропорциональным сторонам и общему/вертикальному углу между ними.

ШАГ 1. Прямоугольные треугольники \(\triangle ABB_1\) и \(\triangle ACC_1\) имеют равные вертикальные углы при вершине \(A\).

ШАГ 2. Отношения сторон равны косинусу угла: \(\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \cos\angle B_1AB\).

ШАГ 3. Так как \(\angle B_1AC_1 = \angle BAC\) и \(\frac{AB_1}{AC} = \frac{AC_1}{AB}\), треугольники \(\triangle AB_1C_1\) и \(\triangle ABC\) подобны по второму признаку подобия.

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: Точки оснований высот и две вершины образуют вписанный четырёхугольник с диаметром, равным стороне треугольника.

ОСНОВНОЙ ФАКТ: \(\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ \implies AB_1A_1B\) — вписанный четырёхугольник с диаметром \(AB\).

ШАГ 1. Из вершин \(A\) и \(B\) опущены высоты: \(\angle AA_1B = 90^\circ\) и \(\angle AB_1B = 90^\circ\).

ШАГ 2. Отрезок \(AB\) виден из точек \(A_1\) и \(B_1\) под прямым углом, значит точки \(A, B_1, A_1, B\) лежат на одной окружности.

ШАГ 3. Вписанные углы \(\angle BB_1A_1\) и \(\angle BAA_1\) опираются на одну и ту же дугу \(BA_1\), следовательно, они равны.

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: Пропорциональность катетов и гипотенуз в прямоугольных треугольниках с общей вершиной тупого угла.

ПРИЗНАК ПОДОБИЯ: \(\frac{CA_1}{CB} = \frac{CB_1}{CA}\) при \(\angle A_1CB_1 = \angle ACB\).

ШАГ 1. Из \(\triangle CAA_1\) и \(\triangle CBB_1\): \(\frac{CA_1}{AC} = \frac{CB_1}{BC} = \cos\angle A_1CA\).

ШАГ 2. Перепишем пропорцию: \(\frac{CA_1}{CB} = \frac{CB_1}{CA}\).

ШАГ 3. Углы \(\angle A_1CB_1\) и \(\angle ACB\) равны как вертикальные. Значит, \(\triangle A_1CB_1 \sim \triangle ACB\) по второму признаку подобия.

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: Равенство вписанных углов, опирающихся на общую хорду в окружности, построенной на стороне треугольника как на диаметре.

ОСНОВНОЙ ФАКТ: \(AC_1A_1C\) вписан в окружность с диаметром \(AC\).

ШАГ 1. Прямые углы \(\angle AC_1C = \angle AA_1C = 90^\circ\) опираются на отрезок \(AC\).

ШАГ 2. Четырёхугольник \(AC_1A_1C\) — вписанный.

ШАГ 3. Углы \(\angle AA_1C_1\) и \(\angle ACC_1\) опираются на одну и ту же дугу \(AC_1\), значит, \(\angle AA_1C_1 = \angle ACC_1\).

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: Два прямоугольных треугольника с общим острым углом подобны. Отношение прилежащих катетов к гипотенузам равно косинусу этого угла.

ПРИЗНАК ПОДОБИЯ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

ШАГ 1. В прямоугольных треугольниках \(\triangle ABA_1\) (\(\angle A_1 = 90^\circ\)) и \(\triangle CBC_1\) (\(\angle C_1 = 90^\circ\)) вертикальные углы при вершине \(B\) равны: \(\angle A_1BA = \angle C_1BC\).

ШАГ 2. Из определений косинуса в этих треугольниках: \(\cos\angle A_1BA = \frac{BA_1}{AB}\) и \(\cos\angle C_1BC = \frac{BC_1}{BC}\). Отсюда \(\frac{BA_1}{AB} = \frac{BC_1}{BC} \implies \frac{BA_1}{BC_1} = \frac{AB}{BC}\).

ШАГ 3. Угол \(\angle A_1BC_1\) равен углу \(\angle ABC\) (как вертикальные). Две стороны, заключающие эти углы, пропорциональны: \(\frac{BA_1}{BC} = \frac{BC_1}{AB}\). Следовательно, \(\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC\).

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Внешний угол при вершине вписанного четырёхугольника равен противолежащему внутреннему углу.

ОСНОВНОЙ ФАКТ: \(\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ\); \(\angle BCM = 180^\circ - \angle BCD = \angle BAD\).

ШАГ 1. Так как около \(ABCD\) описана окружность, то \(\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ\).

ШАГ 2. Углы \(\angle BCD\) и \(\angle BCM\) смежные, значит \(\angle BCM = 180^\circ - \angle BCD = \angle BAD = \angle MAD\).

ШАГ 3. В треугольниках \(\triangle MBC\) и \(\triangle MDA\) угол \(\angle M\) — общий, а \(\angle MCB = \angle MAD\). Следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

ОТВЕТ: доказано

ТЕОРИЯ: Равенство внешнего угла вписанного четырёхугольника противоположному внутреннему углу.

ОСНОВНОЙ ФАКТ: \(\angle KDC = \angle B\) (как внешний угол к вписанному четырёхугольнику).

ШАГ 1. Вписанный четырёхугольник \(ABCD\): \(\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ\).

ШАГ 2. Смежные углы: \(\angle KDC = 180^\circ - \angle ADC = \angle ABC = \angle KBA\).

ШАГ 3. Угол \(\angle K\) общий для треугольников \(\triangle KAB\) и \(\triangle KCD\). По двум углам: \(\triangle KAB \sim \triangle KCD\).

ОТВЕТ: доказано