Задание 25 ОГЭ по математике — геометрическая задача повышенной сложности

ТЕОРИЯ: В описанном четырёхугольнике сумма оснований равна сумме боковых сторон (полупериметру). Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в отношении, равном отношению оснований.

ФОРМУЛА: \(a + b = 2c = \frac{P}{2}\); \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\); \(h_b = h \cdot \frac{b}{a + b}\).

ШАГ 1. Сумма оснований трапеции: \(a + b = \frac{200}{2} = 100\), боковая сторона \(c = 50\). Найдём высоту трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h \implies 2000 = 50h \implies h = 40\).

ШАГ 2. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(c\) и катетом \(h\) найдём полуразность оснований: \(\frac{a - b}{2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = 30 \implies a - b = 60\). Сложив с \(a + b = 100\), получаем большее основание \(a = 80\) и меньшее основание \(b = 20\).

ШАГ 3. Треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны с коэффициентом \(\frac{b}{a} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}\). Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания: \(h_b = h \cdot \frac{b}{a + b} = 40 \cdot \frac{20}{100} = 8\).

ОТВЕТ: 8

ТЕОРИЯ: Вычисление оснований описанной трапеции через полупериметр и площадь с последующим подобием треугольников.

ФОРМУЛА: \(h_b = h \cdot \frac{b}{a + b}\).

ШАГ 1. Сумма оснований \(a + b = 50\), боковая сторона \(c = 25\). Высота: \(h = \frac{500}{25} = 20\).

ШАГ 2. Полуразность оснований: \(\frac{a - b}{2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15 \implies a - b = 30\). Отсюда \(a = 40\), \(b = 10\).

ШАГ 3. Расстояние до меньшего основания: \(h_b = 20 \cdot \frac{10}{50} = 4\).

ОТВЕТ: 4

ТЕОРИЯ: Нахождение расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований описанной трапеции.

ФОРМУЛА: \(a + b = \frac{P}{2}\); \(h = \frac{S}{c}\); \(h_b = \frac{b \cdot h}{a + b}\).

ШАГ 1. \(a + b = 90\), \(c = 45\). Высота трапеции: \(h = \frac{1620}{45} = 36\).

ШАГ 2. \(\frac{a - b}{2} = \sqrt{45^2 - 36^2} = 27 \implies a - b = 54\). Основания: \(a = 72\), \(b = 18\).

ШАГ 3. \(h_b = 36 \cdot \frac{18}{90} = 36 \cdot 0{,}2 = 7{,}2\).

ОТВЕТ: 7.2

ТЕОРИЯ: Продление биссектрисы до пересечения с продолжением меньшего основания образует равнобедренный треугольник, равновеликий трапеции.

ФОРМУЛА: \(S_{ABCD} = S_{\triangle KCD}\); \(CK = CD \implies AD = CD - BC\).

ШАГ 1. Пусть биссектриса угла \(D\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(K\). Углы \(\angle KDA = \angle CKD\) (накрест лежащие), значит \(\angle CDK = \angle CKD\) и \(\triangle KCD\) равнобедренный: \(CK = CD = 10\).

ШАГ 2. Так как точка пересечения биссектрисы делит \(AB\) пополам, треугольники \(\triangle AMD\) и \(\triangle BMK\) равны по стороне и двум углам. Отсюда \(BK = AD\), следовательно, \(AD = CK - BC = 10 - 2 = 8\).

ШАГ 3. В трапеции основания \(BC = 2\), \(AD = 8\), боковые стороны \(AB = 8\), \(CD = 10\). Проекция \(CD\) на \(AD\) равна \(AD - BC = 6\), а так как \(10^2 - 6^2 = 64 = 8^2 = AB^2\), трапеция прямоугольная с высотой \(h = AB = 8\). Площадь: \(S = \frac{2 + 8}{2} \cdot 8 = 40\).

ОТВЕТ: 40

ТЕОРИЯ: Дополнительное построение с продлением биссектрисы угла трапеции до пересечения с основанием.

ФОРМУЛА: \(AD = CD - BC\); \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h\).

ШАГ 1. \(CK = CD = 41\). Тогда большее основание: \(AD = 41 - 16 = 25\).

ШАГ 2. Проекция стороны \(CD\) равна \(AD - BC = 25 - 16 = 9\). Проверим теорему Пифагора: \(41^2 - 9^2 = 1681 - 81 = 1600 = 40^2 = AB^2\). Сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям, \(h = 40\).

ШАГ 3. Площадь трапеции: \(S = \frac{16 + 25}{2} \cdot 40 = 41 \cdot 20 = 820\).

ОТВЕТ: 820

ТЕОРИЯ: Определение вида трапеции и вычисление её площади через равновеликий треугольник.

ФОРМУЛА: \(AD = CD - BC = 34 - 2 = 32\).

ШАГ 1. Большее основание: \(AD = 34 - 2 = 32\).

ШАГ 2. Разность оснований: \(32 - 2 = 30\). Высота: \(h = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{256} = 16 = AB\). Трапеция прямоугольная.

ШАГ 3. Площадь: \(S = \frac{2 + 32}{2} \cdot 16 = 17 \cdot 16 = 272\).

ОТВЕТ: 272

ТЕОРИЯ: Точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равноудалена от всех трёх содержащих их прямых, а расстояние между противоположными сторонами равно удвоенному расстоянию до боковой стороны.

ФОРМУЛА: \(h = 2d\); \(S = BC \cdot h\).

ШАГ 1. Точка \(K\) лежит на биссектрисе угла \(A\), поэтому расстояние от \(K\) до \(AD\) равно расстоянию от \(K\) до \(AB\) (равно 1).

ШАГ 2. Точка \(K\) лежит на биссектрисе угла \(B\), поэтому расстояние от \(K\) до \(BC\) равно расстоянию от \(K\) до \(AB\) (равно 1).

ШАГ 3. Высота параллелограмма равна сумме расстояний от \(K\) до прямых \(AD\) и \(BC\): \(h = 1 + 1 = 2\). Площадь параллелограмма: \(S = BC \cdot h = 2 \cdot 2 = 4\).

ОТВЕТ: 4

ТЕОРИЯ: Высота параллелограмма равна удвоенному расстоянию от точки пересечения биссектрис до боковой стороны.

ФОРМУЛА: \(h = 2d\); \(S = a \cdot h\).

ШАГ 1. Расстояние от точки \(K\) до \(AD\) и до \(BC\) равно \(d = 1\).

ШАГ 2. Полная высота параллелограмма: \(h = 1 + 1 = 2\).

ШАГ 3. Площадь: \(S = 18 \cdot 2 = 36\).

ОТВЕТ: 36