Алгебраическое задание второй части с полным решением.
Задача 1Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Найдите значение выражения \(11a - 7b + 21\), если:
\[\frac{4a - 5b + 6}{5a - 4b + 6} = 3\]
Показать ответ
Ответ: 9
Решение
ТЕОРИЯ: Если дробь равна числу, то числитель равен произведению этого числа на знаменатель при условии, что знаменатель не равен нулю.
ФОРМУЛА: \(\frac{A}{B} = k \iff A = k \cdot B\) при \(B \ne 0\).
ШАГ 1. Умножим обе части исходного равенства на знаменатель: \(4a - 5b + 6 = 3(5a - 4b + 6)\).
ШАГ 2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \(4a - 5b + 6 = 15a - 12b + 18 \implies 11a - 7b = -12\).
ШАГ 3. Подставим полученное значение \(11a - 7b = -12\) в искомое выражение: \(-12 + 21 = 9\).
ОТВЕТ: 9
Задача 2Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Найдите значение выражения \(33a - 23b + 71\), если:
\[\frac{3a - 4b + 8}{4a - 3b + 8} = 9\]
Показать ответ
Ответ: 7
Решение
ТЕОРИЯ: Выразим линейную комбинацию переменных из дробного равенства, избавившись от знаменателя.
ФОРМУЛА: \(A = 9B \implies A - 9B = 0\).
ШАГ 1. Умножим обе части на знаменатель: \(3a - 4b + 8 = 9(4a - 3b + 8)\).
ШАГ 2. Раскроем скобки: \(3a - 4b + 8 = 36a - 27b + 72 \implies 33a - 23b = -64\).
ШАГ 3. Подставим \(33a - 23b = -64\) в выражение: \(-64 + 71 = 7\).
ОТВЕТ: 7
Задача 3Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Найдите значение выражения \(28a - 7b + 40\), если:
\[\frac{2a - 5b + 7}{5a - 2b + 7} = 6\]
Показать ответ
Ответ: 5
Решение
ТЕОРИЯ: Приведение равенства к линейному виду относительно неизвестных переменных.
ФОРМУЛА: \(\frac{A}{B} = 6 \implies A = 6B\).
ШАГ 1. Умножим обе части на знаменатель: \(2a - 5b + 7 = 6(5a - 2b + 7)\).
ШАГ 2. Раскроем скобки и упростим: \(2a - 5b + 7 = 30a - 12b + 42 \implies 28a - 7b = -35\).
ШАГ 3. Подставим значение \(28a - 7b = -35\): \(-35 + 40 = 5\).
ОТВЕТ: 5
Задача 4Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Решите уравнение:
\[\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0\]
Показать ответ
Ответ: -1/6; 0.5
Решение
ТЕОРИЯ: Уравнение сводится к квадратному с помощью введения новой переменной при условии допустимых значений переменной \(x\).
ФОРМУЛА: Замена: \(t = \frac{1}{x}\), тогда \(t^2 = \frac{1}{x^2}\); ОДЗ: \(x \ne 0\).
ШАГ 1. Введём замену \(t = \frac{1}{x}\) и решим квадратное уравнение: \(t^2 + 4t - 12 = 0\).
ШАГ 2. Найдём корни по теореме Виета: \(t_1 = 2\), \(t_2 = -6\).
ШАГ 3. Выполним обратную замену: \(\frac{1}{x} = 2 \implies x = 0{,}5\); \(\frac{1}{x} = -6 \implies x = -\frac{1}{6}\).
ОТВЕТ: -1/6; 0.5
Задача 5Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Решите уравнение:
\[\frac{1}{x^2} - \frac{3}{x} - 4 = 0\]
Показать ответ
Ответ: -1; 0.25
Решение
ТЕОРИЯ: Замена переменной позволяет понизить порядок уравнения до квадратного.
ФОРМУЛА: Пусть \(t = \frac{1}{x}\), ОДЗ: \(x \ne 0\).
ШАГ 1. Подставим \(t\) в уравнение: \(t^2 - 3t - 4 = 0\).
ШАГ 2. Корни квадратного уравнения: \(t_1 = 4\), \(t_2 = -1\).
ШАГ 3. Найдём \(x\): \(\frac{1}{x} = 4 \implies x = 0{,}25\); \(\frac{1}{x} = -1 \implies x = -1\).
ОТВЕТ: -1; 0.25
Задача 6Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Решите уравнение:
\[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 6 = 0\]
Показать ответ
Ответ: -0.5; 1/3
Решение
ТЕОРИЯ: Решение дробно-рационального уравнения методом подстановки квадратичной переменной.
ФОРМУЛА: \(t = \frac{1}{x}\), где \(x \ne 0\).
ШАГ 1. Перейдём к переменной \(t\): \(t^2 - t - 6 = 0\).
ШАГ 2. Корни квадратного уравнения: \(t_1 = 3\), \(t_2 = -2\).
ШАГ 3. Возвращаемся к \(x\): \(\frac{1}{x} = 3 \implies x = \frac{1}{3}\); \(\frac{1}{x} = -2 \implies x = -0{,}5\).
ОТВЕТ: -0.5; 1/3
Задача 7Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Решите уравнение:
\[x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8\]
Показать ответ
Ответ: -2
Решение
ТЕОРИЯ: Выражение под знаком квадратного корня имеет смысл только тогда, когда оно неотрицательно. При взаимном уничтожении корней ОДЗ сохраняется.
ФОРМУЛА: Для \(\sqrt{f(x)}\) область допустимых значений: \(f(x) \ge 0\).
ШАГ 1. Запишем ОДЗ: \(3 - x \ge 0 \implies x \le 3\).
ШАГ 2. Упростим уравнение, вычтя корень из обеих частей: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Корни: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\).
ШАГ 3. Отберём корни по ОДЗ: значение \(x = 4\) не подходит (\(4 > 3\)), корень \(x = -2\) удовлетворяет условию \(x \le 3\).
ОТВЕТ: -2
Задача 8Алгебраические выражения, уравнения, неравенства
Решите уравнение:
\[x^2 - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35\]
Показать ответ
Ответ: -5
Решение
ТЕОРИЯ: Уравнение содержит иррациональное выражение, требующее обязательной проверки области определения.
ФОРМУЛА: ОДЗ: \(6 - x \ge 0 \iff x \le 6\).
ШАГ 1. Найдём ОДЗ: \(x \le 6\).
ШАГ 2. Сократим равные корни в обеих частях: \(x^2 - 2x - 35 = 0\). Корни: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -5\).
ШАГ 3. Проверим ОДЗ: \(7 > 6\) — посторонний корень; \(-5 \le 6\) — корень уравнения.
ОТВЕТ: -5