Задание 22 ОГЭ по математике — построение графика функции и параметр

ТЕОРИЯ: При сокращении дроби на линейный множитель график совпадает с базовой гиперболой везде, кроме точки, в которой знаменатель обращается в ноль (выколотая точка). Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат и имеет с гиперболой одну общую точку, если она проходит через выколотую точку (вторая точка пересечения остаётся единственной).

ФОРМУЛА: \(y = \frac{7x - 5}{x(7x - 5)} = \frac{1}{x}\) при \(x \ne 0\) и \(x \ne \frac{5}{7}\).

ШАГ 1. Разложим знаменатель на множители и сократим дробь: при \(x \ne \frac{5}{7}\) получаем \(y = \frac{1}{x}\). График — гипербола с выколотой точкой \(A\left(\frac{5}{7}; \, \frac{7}{5}\right)\).

ШАГ 2. Найдём пересечения прямой \(y = kx\) и гиперболы \(y = \frac{1}{x}\): уравнение \(kx = \frac{1}{x} \implies kx^2 = 1\). При \(k \le 0\) решений нет, при \(k > 0\) всегда два симметричных корня \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}\).

ШАГ 3. Ровно одна общая точка будет тогда, когда один из корней совпадёт с абсциссой выколотой точки: \(\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{5}{7} \implies k = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}\).

ОТВЕТ: 49/25

ТЕОРИЯ: Прямая \(y = kx\) пересекает ветви гиперболы в двух точках либо не пересекает вовсе. Ровно одна точка пересечения остаётся, если вторая попадает в выколотую точку.

ФОРМУЛА: \(y = \frac{1}{x}\) при \(x \ne 0\) и \(x \ne 3\).

ШАГ 1. Упростим функцию: \(y = \frac{x - 3}{x(x - 3)} = \frac{1}{x}\). Выколотая точка имеет координаты \((3; \, \frac{1}{3})\).

ШАГ 2. Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой \(y = kx\): \(\frac{1}{3} = k \cdot 3 \implies k = \frac{1}{9}\).

ШАГ 3. При \(k = \frac{1}{9}\) уравнение \(\frac{1}{9}x = \frac{1}{x}\) даёт корни \(x = \pm 3\). Так как \(x = 3\) выколота, остаётся единственный корень \(x = -3\).

ОТВЕТ: 1/9

ТЕОРИЯ: Определение углового коэффициента прямой, проходящей через выколотую точку гиперболы.

ФОРМУЛА: \(k = \frac{y_0}{x_0}\), где \((x_0; y_0)\) — координаты выколотой точки.

ШАГ 1. Сократим дробь: \(y = \frac{1}{x}\) при \(x \ne \frac{10}{7}\). Ордината выколотой точки: \(y = \frac{7}{10}\).

ШАГ 2. Прямая \(y = kx\) проходит через точку \(\left(\frac{10}{7}; \, \frac{7}{10}\right)\): \(\frac{7}{10} = k \cdot \frac{10}{7}\).

ШАГ 3. Найдём \(k\): \(k = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}\).

ОТВЕТ: 49/100

ТЕОРИЯ: Горизонтальная прямая \(y = m\) не имеет общих точек с гиперболой в двух случаях: если она совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через выколотую точку графика.

ФОРМУЛА: \(y = -2 - \frac{1}{x}\) при \(x \ne 0\) и \(x \ne -4\).

ШАГ 1. Упростим формулу: \(y = -2 - \frac{x + 4}{x(x + 4)} = -2 - \frac{1}{x}\). Горизонтальная асимптота гиперболы: прямая \(y = -2\) (значение \(-2\) функция никогда не принимает).

ШАГ 2. Найдём ординату выколотой точки при \(x = -4\): \(y(-4) = -2 - \frac{1}{-4} = -2 + 0{,}25 = -1{,}75\).

ШАГ 3. Прямая \(y = m\) не пересекает график при \(m = -2\) (асимптота) и при \(m = -1{,}75\) (выколотая точка).

ОТВЕТ: -2; -1.75

ТЕОРИЯ: Определение значений параметра, соответствующих асимптоте и выколотым точкам.

ФОРМУЛА: \(y = 5 - \frac{1}{x}\) при \(x \ne 0, x \ne -5\).

ШАГ 1. Сократим дробь: \(y = 5 - \frac{1}{x}\). Горизонтальная асимптота: \(m = 5\).

ШАГ 2. Вычислим выколотую ординату при \(x = -5\): \(y = 5 - \frac{1}{-5} = 5 + 0{,}2 = 5{,}2\).

ШАГ 3. Общих точек нет при \(m = 5\) и \(m = 5{,}2\).

ОТВЕТ: 5; 5.2

ТЕОРИЯ: Точки отсутствия пересечений горизонтальной прямой со сдвинутой гиперболой.

ФОРМУЛА: \(y = 3 - \frac{1}{x}\) при \(x \ne -2\).

ШАГ 1. Асимптота гиперболы: \(m = 3\).

ШАГ 2. Ордината при \(x = -2\): \(y = 3 - \frac{1}{-2} = 3 + 0{,}5 = 3{,}5\).

ШАГ 3. Значения параметра: \(m = 3\) и \(m = 3{,}5\).

ОТВЕТ: 3; 3.5

ТЕОРИЯ: Прямая имеет ровно одну общую точку с параболой с выколотой точкой в двух случаях: 1) касается параболы (дискриминант равен нулю); 2) пересекает параболу в двух точках, но одна из них совпадает с выколотой точкой.

ФОРМУЛА: \(y = -x^2 - 6{,}25\) при \(x \ne 1\); касание: \(D = 0\).

ШАГ 1. Сократим дробь: \(y = -(x^2 + 6{,}25) = -x^2 - 6{,}25\) при \(x \ne 1\). Выколотая точка: \((1; \, -7{,}25)\).

ШАГ 2. Условие касания прямой \(y = kx\) и параболы: \(-x^2 - 6{,}25 = kx \implies x^2 + kx + 6{,}25 = 0\). Дискриминант \(D = k^2 - 25 = 0 \implies k = \pm 5\). При этом абсциссы точек касания \(x = \mp 2{,}5 \ne 1\) (не выколоты).

ШАГ 3. Условие прохождения прямой через выколотую точку \((1; \, -7{,}25)\): \(-7{,}25 = k \cdot 1 \implies k = -7{,}25\).

ОТВЕТ: -7.25; -5; 5

ТЕОРИЯ: Случаи единственной точки: касание параболы и прохождение секущей через выколотую точку.

ФОРМУЛА: \(y = -x^2 - 1\) при \(x \ne 2\).

ШАГ 1. Упростим функцию: \(y = -x^2 - 1\). Выколотая точка: \(x = 2 \implies y = -5\), то есть \((2; \, -5)\).

ШАГ 2. Касание: \(x^2 + kx + 1 = 0 \implies D = k^2 - 4 = 0 \implies k = \pm 2\). Точки касания \(x = \mp 1 \ne 2\).

ШАГ 3. Прохождение через выколотую точку: \(-5 = k \cdot 2 \implies k = -2{,}5\).

ОТВЕТ: -2.5; -2; 2